حل کاردرکلاس صفحه 61 ریاضی دهم

پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس صفحه 61 ریاضی دهم - مسئله ۱ سلام! این فعالیت بر **تبدیل توان گویا به رادیکال** و برعکس آن، استفاده از **قوانین توان** برای ساده‌سازی عبارات توانی با نماهای کسری متمرکز است. ### **محاسبات گام به گام** 1. **$$\mathbf{3^{-\frac{1}{5}}}$$** * **توان منفی:** $\frac{1}{3^{\frac{1}{5}}}$ * **تبدیل به رادیکال:** $\mathbf{\frac{1}{\sqrt[5]{3}}}$ 2. **$$\mathbf{2^{\frac{2}{3}} \times 2^{\frac{3}{2}}}$$** * **قانون ضرب توان‌ها:** $2^{\frac{2}{3} + \frac{3}{2}} = 2^{\frac{4 + 9}{6}} = 2^{\frac{13}{6}}$ * **تبدیل به رادیکال و ساده‌سازی:** $\sqrt[6]{2^{13}} = \sqrt[6]{2^{12} \times 2} = 2^2 \sqrt[6]{2} = \mathbf{4\sqrt[6]{2}}$ 3. **$$\mathbf{(4 \times 2)^{\frac{1}{3}}}$$** * **محاسبه پایه:** $8^{\frac{1}{3}}$ * **تبدیل به رادیکال:** $\sqrt[3]{8}$ * **حاصل نهایی:** $\mathbf{2}$ 4. **$$\mathbf{5^{\frac{3}{4}}}$$** * **تبدیل به رادیکال:** $\mathbf{\sqrt[4]{5^3}}$ (یا $\mathbf{\sqrt[4]{125}}$) 5. **$$\mathbf{(16^{\frac{1}{3}})^2}$$** * **قانون توان به توان:** $16^{\frac{1}{3} \times 2} = 16^{\frac{2}{3}}$ * **تبدیل به رادیکال:** $\mathbf{\sqrt[3]{16^2}}$ (یا $\mathbf{\sqrt[3]{256}}$) 6. **$$\mathbf{6^{\frac{3}{2}}}$$** * **تبدیل به رادیکال و ساده‌سازی:** $\sqrt{6^3} = \sqrt{6^2 \times 6} = \mathbf{6\sqrt{6}}$ | عبارت توانی | تبدیل رادیکالی و ساده شده | | :---: | :---: | | $3^{-\frac{1}{5}}$ | $\mathbf{\frac{1}{\sqrt[5]{3}}}$ | | $2^{\frac{2}{3}} \times 2^{\frac{3}{2}}$ | $\mathbf{4\sqrt[6]{2}}$ | | $(4 \times 2)^{\frac{1}{3}}$ | $\mathbf{\sqrt[3]{8} = 2}$ | | $5^{\frac{3}{4}}$ | $\mathbf{\sqrt[4]{125}}$ | | $(16^{\frac{1}{3}})^2$ | $\mathbf{\sqrt[3]{256}}$ | | $6^{\frac{3}{2}}$ | $\mathbf{6\sqrt{6}}$ |

پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس صفحه 61 ریاضی دهم - مسئله ۲ این تمرین بر **تبدیل رادیکال به توان گویا** متمرکز است. ما از قانون $\mathbf{\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}}$ استفاده می‌کنیم. ### **تبدیل به توان کسری** 1. **$$\mathbf{\sqrt{45}}$$** * **تجزیه:** $45 = 9 \times 5$. $\sqrt{45} = 3\sqrt{5}$ * **تبدیل:** $3 \times 5^{\frac{1}{2}}$ * **پاسخ:** $\mathbf{3 \times 5^{\frac{1}{2}}}$ 2. **$$\mathbf{3\sqrt[3]{2}}$$** * **تبدیل:** $\mathbf{3 \times 2^{\frac{1}{3}}}$ 3. **$$\mathbf{\sqrt[5]{9}}$$** * **تجزیه پایه:** $9 = 3^2$ * **تبدیل:** $\mathbf{3^{\frac{2}{5}}}$ 4. **$$\mathbf{\sqrt[5]{64}}$$** * **تجزیه پایه:** $64 = 2^6$ * **تبدیل:** $2^{\frac{6}{5}}$ * **پاسخ:** $\mathbf{2^{\frac{6}{5}}}$ 5. **$$\mathbf{\sqrt[5]{25}}$$** * **تجزیه پایه:** $25 = 5^2$ * **تبدیل:** $\mathbf{5^{\frac{2}{5}}}$ | عبارت رادیکالی | تبدیل به توان کسری | | :---: | :---: | | $\sqrt{45}$ | $\mathbf{3 \times 5^{\frac{1}{2}}}$ | | $3\sqrt[3]{2}$ | $\mathbf{3 \times 2^{\frac{1}{3}}}$ | | $\sqrt[5]{9}$ | $\mathbf{3^{\frac{2}{5}}}$ | | $\sqrt[5]{64}$ | $\mathbf{2^{\frac{6}{5}}}$ | | $\sqrt[5]{25}$ | $\mathbf{5^{\frac{2}{5}}}$ |

پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس صفحه 61 ریاضی دهم - مسئله ۳ این فعالیت اثبات خاصیت **رادیکال‌های تو در تو** با استفاده از **توان گویا** است. این خاصیت می‌گوید می‌توان فرجه‌های رادیکال‌های تو در تو را در هم ضرب کرد. ### **اثبات $\mathbf{\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[nm]{a}}$** **گام ۱: تبدیل رادیکال خارجی به توان گویا** $$\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^{\frac{1}{m}}$$ **گام ۲: تبدیل رادیکال داخلی به توان گویا** $$\left(\sqrt[n]{a}\right)^{\frac{1}{m}} = \left(a^{\frac{1}{n}}\right)^{\frac{1}{m}}$$ **گام ۳: استفاده از قانون توان به توان** $$(a^{\frac{1}{n}})^{\frac{1}{m}} = a^{\frac{1}{n} \times \frac{1}{m}} = a^{\frac{1}{nm}}$$ **گام ۴: تبدیل نهایی به رادیکال** $$a^{\frac{1}{nm}} = \mathbf{\sqrt[nm]{a}}$$ **تساوی کامل‌شده:** $$\mathbf{\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^{\frac{1}{m}} = \left(a^{\frac{1}{n}}\right)^{\frac{1}{m}} = a^{\frac{1}{nm}} = \mathbf{\sqrt[nm]{a}}}$$ **نتیجه‌گیری:** این اثبات نشان می‌دهد که $\mathbf{\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}}$ و $\mathbf{\sqrt[nm]{a}}$ دو نمایش معادل برای یک عبارت هستند و برای ساده‌سازی رادیکال‌های تو در تو، کافی است فرجه‌ها را در هم ضرب کنیم.