فعالیت کار در کلاس توان گویا ریاضی دهم - مسئله ۱
۱. تساوی‌های زیر را مانند نمونه به صورت رادیکالی بنویسید.
$$\mathbf{3^{\frac{2}{5}} = \sqrt[5]{3^2}} \quad \quad \quad \mathbf{3^{\frac{5}{4}} = \sqrt[4]{3^5} = \sqrt[4]{3^4 \times 3} = 3\sqrt[4]{3}}$$
$$\mathbf{3^{-\frac{1}{5}} = \underline{\hspace{1cm}}} \quad \quad \quad \mathbf{2^{\frac{2}{3}} \times 2^{\frac{3}{2}} = \underline{\hspace{1cm}}} \quad \quad \quad \mathbf{(4 \times 2)^{\frac{1}{3}} = \underline{\hspace{1cm}}}$$
$$\mathbf{5^{\frac{3}{4}} = \underline{\hspace{1cm}}} \quad \quad \quad \mathbf{(16^{\frac{1}{3}})^2 = \underline{\hspace{1cm}}} \quad \quad \quad \mathbf{6^{\frac{3}{2}} = \underline{\hspace{1cm}}}$$
پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس صفحه 61 ریاضی دهم - مسئله ۱
سلام! این فعالیت بر **تبدیل توان گویا به رادیکال** و برعکس آن، استفاده از **قوانین توان** برای ساده‌سازی عبارات توانی با نماهای کسری متمرکز است.
### **محاسبات گام به گام**
1. **$$\mathbf{3^{-\frac{1}{5}}}$$**
* **توان منفی:** $\frac{1}{3^{\frac{1}{5}}}$
* **تبدیل به رادیکال:** $\mathbf{\frac{1}{\sqrt[5]{3}}}$
2. **$$\mathbf{2^{\frac{2}{3}} \times 2^{\frac{3}{2}}}$$**
* **قانون ضرب توان‌ها:** $2^{\frac{2}{3} + \frac{3}{2}} = 2^{\frac{4 + 9}{6}} = 2^{\frac{13}{6}}$
* **تبدیل به رادیکال و ساده‌سازی:** $\sqrt[6]{2^{13}} = \sqrt[6]{2^{12} \times 2} = 2^2 \sqrt[6]{2} = \mathbf{4\sqrt[6]{2}}$
3. **$$\mathbf{(4 \times 2)^{\frac{1}{3}}}$$**
* **محاسبه پایه:** $8^{\frac{1}{3}}$
* **تبدیل به رادیکال:** $\sqrt[3]{8}$
* **حاصل نهایی:** $\mathbf{2}$
4. **$$\mathbf{5^{\frac{3}{4}}}$$**
* **تبدیل به رادیکال:** $\mathbf{\sqrt[4]{5^3}}$ (یا $\mathbf{\sqrt[4]{125}}$)
5. **$$\mathbf{(16^{\frac{1}{3}})^2}$$**
* **قانون توان به توان:** $16^{\frac{1}{3} \times 2} = 16^{\frac{2}{3}}$
* **تبدیل به رادیکال:** $\mathbf{\sqrt[3]{16^2}}$ (یا $\mathbf{\sqrt[3]{256}}$)
6. **$$\mathbf{6^{\frac{3}{2}}}$$**
* **تبدیل به رادیکال و ساده‌سازی:** $\sqrt{6^3} = \sqrt{6^2 \times 6} = \mathbf{6\sqrt{6}}$
| عبارت توانی | تبدیل رادیکالی و ساده شده |
| :---: | :---: |
| $3^{-\frac{1}{5}}$ | $\mathbf{\frac{1}{\sqrt[5]{3}}}$ |
| $2^{\frac{2}{3}} \times 2^{\frac{3}{2}}$ | $\mathbf{4\sqrt[6]{2}}$ |
| $(4 \times 2)^{\frac{1}{3}}$ | $\mathbf{\sqrt[3]{8} = 2}$ |
| $5^{\frac{3}{4}}$ | $\mathbf{\sqrt[4]{125}}$ |
| $(16^{\frac{1}{3}})^2$ | $\mathbf{\sqrt[3]{256}}$ |
| $6^{\frac{3}{2}}$ | $\mathbf{6\sqrt{6}}$ |
فعالیت کار در کلاس توان گویا ریاضی دهم - مسئله ۲
۲. رادیکال‌ها را در صورت امکان به شکل توان کسری بنویسید.
$$\mathbf{\sqrt[3]{3^2} = 3^{\frac{2}{3}}} \quad \quad \mathbf{\sqrt{45} = \underline{\hspace{1cm}}} \quad \quad \mathbf{3\sqrt[3]{2} = \underline{\hspace{1cm}}}$$
$$\mathbf{\sqrt[5]{9} = \underline{\hspace{1cm}}} \quad \quad \mathbf{\sqrt[5]{64} = \underline{\hspace{1cm}}} \quad \quad \mathbf{\sqrt[5]{25} = \underline{\hspace{1cm}}}$$
پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس صفحه 61 ریاضی دهم - مسئله ۲
این تمرین بر **تبدیل رادیکال به توان گویا** متمرکز است. ما از قانون $\mathbf{\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}}$ استفاده می‌کنیم.
### **تبدیل به توان کسری**
1. **$$\mathbf{\sqrt{45}}$$**
* **تجزیه:** $45 = 9 \times 5$. $\sqrt{45} = 3\sqrt{5}$
* **تبدیل:** $3 \times 5^{\frac{1}{2}}$
* **پاسخ:** $\mathbf{3 \times 5^{\frac{1}{2}}}$
2. **$$\mathbf{3\sqrt[3]{2}}$$**
* **تبدیل:** $\mathbf{3 \times 2^{\frac{1}{3}}}$
3. **$$\mathbf{\sqrt[5]{9}}$$**
* **تجزیه پایه:** $9 = 3^2$
* **تبدیل:** $\mathbf{3^{\frac{2}{5}}}$
4. **$$\mathbf{\sqrt[5]{64}}$$**
* **تجزیه پایه:** $64 = 2^6$
* **تبدیل:** $2^{\frac{6}{5}}$
* **پاسخ:** $\mathbf{2^{\frac{6}{5}}}$
5. **$$\mathbf{\sqrt[5]{25}}$$**
* **تجزیه پایه:** $25 = 5^2$
* **تبدیل:** $\mathbf{5^{\frac{2}{5}}}$
| عبارت رادیکالی | تبدیل به توان کسری |
| :---: | :---: |
| $\sqrt{45}$ | $\mathbf{3 \times 5^{\frac{1}{2}}}$ |
| $3\sqrt[3]{2}$ | $\mathbf{3 \times 2^{\frac{1}{3}}}$ |
| $\sqrt[5]{9}$ | $\mathbf{3^{\frac{2}{5}}}$ |
| $\sqrt[5]{64}$ | $\mathbf{2^{\frac{6}{5}}}$ |
| $\sqrt[5]{25}$ | $\mathbf{5^{\frac{2}{5}}}$ |
فعالیت کار در کلاس توان گویا ریاضی دهم - مسئله ۳
۳. با استفاده از نمای کسری نشان دهید که $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[nm]{a}$ است. تساوی را کامل کنید. ($a>0$)
$$\mathbf{\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^{\frac{1}{m}} = \left(a^{\frac{1}{n}}\right)^{\frac{1}{m}} = a^{\frac{1}{nm}} = \underline{\hspace{1cm}}}$$
پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس صفحه 61 ریاضی دهم - مسئله ۳
این فعالیت اثبات خاصیت **رادیکال‌های تو در تو** با استفاده از **توان گویا** است. این خاصیت می‌گوید می‌توان فرجه‌های رادیکال‌های تو در تو را در هم ضرب کرد.
### **اثبات $\mathbf{\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[nm]{a}}$**
**گام ۱: تبدیل رادیکال خارجی به توان گویا**
$$\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^{\frac{1}{m}}$$
**گام ۲: تبدیل رادیکال داخلی به توان گویا**
$$\left(\sqrt[n]{a}\right)^{\frac{1}{m}} = \left(a^{\frac{1}{n}}\right)^{\frac{1}{m}}$$
**گام ۳: استفاده از قانون توان به توان**
$$(a^{\frac{1}{n}})^{\frac{1}{m}} = a^{\frac{1}{n} \times \frac{1}{m}} = a^{\frac{1}{nm}}$$
**گام ۴: تبدیل نهایی به رادیکال**
$$a^{\frac{1}{nm}} = \mathbf{\sqrt[nm]{a}}$$
**تساوی کامل‌شده:**
$$\mathbf{\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^{\frac{1}{m}} = \left(a^{\frac{1}{n}}\right)^{\frac{1}{m}} = a^{\frac{1}{nm}} = \mathbf{\sqrt[nm]{a}}}$$
**نتیجه‌گیری:** این اثبات نشان می‌دهد که $\mathbf{\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}}$ و $\mathbf{\sqrt[nm]{a}}$ دو نمایش معادل برای یک عبارت هستند و برای ساده‌سازی رادیکال‌های تو در تو، کافی است فرجه‌ها را در هم ضرب کنیم.
